กฎการนับ
1.นาย A กับนาย B เดินเข้าและออกจากร.ร.ที่มี 6 ประตูกี่ได้วิธี โดยนาย A กับ นาย B เข้าออกคนละวิธีกัน
ก.260 ข.900
ค.1260 ง.1296
2.มีจดหมาย 3 ฉบับ ตู้ไปรษณีย์ 6 ตู้ จะทิ้งจดหมายลงตู้ไปรษณีย์ โดย มีจดหมายไม่ต่ำกว่า 2ฉบับอยู่ตู้เดียวกันจะได้กี่วิธี
ก.72 ข.96
ค.120 ง.216
3. น.ร.ชาย 6 คน หญิง 4 คน เลือกหัวหน้าห้อง รองหัวหน้าห้อง และเหรัญญิก จะได้กี่วิธีเมื่อ นางสาวอร ได้เป็นเหรัญญิกเสมอ และมีผู้ชายได้รับตำแหน่งอยู่ด้วย
ก.66 ข.72
ค.84 ง.90
4.สร้างคำที่ประกอบด้วย 4 ตัวอักษร จากคำว่า mathematics โดยแต่ละตัวอักษรต้องไม่ซ้ำกัน ตัวอักษรตัวแรกต้องเป็นพยัญชนะ และตัวสุดท้ายต้องเป็นสระเสมอ จะได้กี่วิธี
ก.300 ข.400
ค.450 ง.600
5.สร้างเลข3หลักจาก 0,1,2,3,4,5,6 โดยแต่ละหลักไม่ซ้ำกันจะได้สร้างเลขที่มีจำนวนมากกว่า 300 ได้กี่วิธี
ก.30 ข.60
ค.120 ง.240
เฉลย
1. ค.
- นาย A เข้าและออกได้ 6 x6 วิธี
- นาย B จะซ้ำกับนาย A ไม่ได้จึงเข้าได้ 36-1 = 35 วิธี
- ดังนั้นจำนวนวิธีที่นาย A และนาย B เข้าออกคนละวิธีกันจึงเป็น 36 x 35 = 1260 วิธี
2. ข.
- คิดจากวิธีที่ทิ้งจดหมายได้ทั้งหมด – วิธีที่ทิ้งจดหมายได้โดยแต่ละตู้ไม่เกิน 1 ฉบับ
- จำนวนวิธีคือ (6 x6 x6) – (6 x5 x4) = 96 วิธี
3. ก.
- นางสาวอรเป็นเหรัญญิกได้ 1 วิธี
- หัวหน้าและรองหัวหน้า ต้องมีผู้ชายด้วย คิดจากวิธีเลือกทั้งหมด - วิธีทีที่หัวหน้าและรองหัวหน้าเป็นผู้หญิง ได้ ( 9 x8) – (3 x2) = 66 วิธี
- ดังนั้นจำนวนวิธีคือ 1 x66 = 66 วิธี
4. ค.
- คำว่า mathematics มี 8 ตัวอักษร เป็นพยัญชนะ 5 ตัวคือ m t h t c s เป็นสระ 3 ตัวคือ a e i
- ตัวที่หนึ่งเป็นพยัญชนะได้ 5 วิธี ตัวที่4 เป็นสระได้ 3 วิธี ตัวที่ 2,3 เลือกจาก 6 ตัวที่เหลือ ได้ 6x5 วิธี
- ดังนั้น สร้างได้ทั้งหมด 5 x 3 x6 x 5 = 450 คำ
5. ค.
- หลักร้อยเป็นได้ 4 ตัวคือ 3,4,5,6
- หลักสิบและหลักหน่วย ได้ 6x5 วิธี
- ดังนั้นสร้างได้ทั้งหมด 4x6x5 = 120 วิธี
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
วิธีเรียงสับเปลี่ยน
1.พ่อแม่และลูก 3 คน ยืนเข้าแถวถ่ายรูป จำนวนวิธีที่พ่อแม่ยืนติดกันและพ่อแม่ยืนแยกกันแตกต่างกันกี่วิธี
ก. 12 ข.24
ค. 36 ง. 48
2.น.ร. 8 คน เป็นชาย 5 คน เป็นหญิง 3 คน ให้นักเรียนทั้งหมดเข้าแถวหน้ากระดาน โดยต้องการให้ มองจากหัวแถวไปหางแถวแล้วพบนักเรียนหญิงสูงไปเตี้ย
ก.56 ข.336
ค.680 ง.6720
3.จัดอักษรในคำว่า message จะมีวิธีเรียงสับเปลี่ยนเป็นคำต่างๆ โดยไม่คำนึงถึงความหมายได้กี่วิธี
ก.5! ข.5!/2!2!
ค.7! ง.7!/2!2!
4.สามีภรรยา 6 คู่ นั่งรอบโต๊ะกลมได้กี่วิธี เมื่อให้สามีภรรยาแต่ละคู่นั่งติดกัน
ก. 6! (2!)6 ข.6!(2!)5
ค.5!(2!)6 ง.5!(2!)5
5.นำอาหารไทย 7 อย่างอย่างละ 1 จาน มาเสิร์ฟแขกชาวต่างประเทศ ที่นั่งรอบโต๊ะกลม 7 คนคนละ 1 จาน ได้กี่วิธี
ก.7! ข.7
ค.6! ง.6
เฉลย
1. ข
- จำนวนวิธีที่พ่อแม่ยืนติดกันคิดจาก
- มัดพ่อแม่ไว้ด้วยกัน เหลือลูก 3 คนยืนสับเปลี่ยนได้ 4!วิธี
- พ่อแม่สลับกันได้ 2! วิธี
- ดังนั้นจำนวนวิธีที่พ่อแม่ยืนติดกันคือ 4!2! = 48 วิธี
- จำนวนวิธีที่พ่อแม่ ยืนแยกกันคิดจาก
- ให้ลูก 3 คนไปยืนเรียงกันก่อนได้ 3! = 6 วิธี
- พ่อกับแม่ไปแทรกในช่องว่าง 4 ได้ ได้4x3 = 12 วิธี
- ดังนั้น จำนวนวิธีที่พ่อแม่ยืนแยกกันคือ 6 x 12 = 72 วิธี.
- ดังนั้นจำนวนวิธีที่แตกต่างกัน = 72 – 48 = 24 วิธี
2. ง
- นักเรียนทั้งหมด 8 คน เรียงสับเปลี่ยนได้ 8! วิธี
- นักเรียนหญิงเรียงจากสูงไปเตี้ยได้แบบเดียว คิดเหมือน ของซ้ำ วิธีเรียงสับเปลี่ยนจึงเป็น 8!/3! = 8x7x6x5x4 = 6720
3. ง.
- ตัวอักษรทั้งหมดคือ m,a,g,ee,ss
- ตัวซ้ำคือ e 2 ตัว และ S 2 ตัว
- ดังนั้นจึงเรียงสับเปลี่ยนได้ 7!/2!2! วิธี
4. ค.
- มัดสามีภรรยาไว้ด้วยกัน 6 คู่
- คิดแบบวงกลมเรียงสับเปลี่ยนได้ 5! วิธี
- สามีภรรยาแต่ละคู่สลับที่กันได้ คู่ละ 2! วิธี ดังนั้น 6 คู้ = (2!)6 วิธี
- ดังนั้นจำนวนวิธีคือ 5!x (2!)6 วิธี
5. ก.
- ข้อนี้คิดแบบการเรียงสับเปลี่ยนแนววงกลมไม่ได้เพราะ มีแขกนั่งในแต่ละตำแหน่งอยู่แล้ว
- จึงคิดแบบธรรมดา 7! วิธี
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
การจัดหมู่
1.คนกลุ่มหนึ่ง 8 คน เป็นชาย 5 คน หญิง 3 คน ให้เลือกตัวแทน4คน จงหาวิธีการเลือกที่ได้ทั้งชายและหญิงโดยหญิงไม่มากกว่าชาย
ก. 70 ข.60
ค.30 ง. 20
2. คู่รักต้องการเลือกตัวแทน3คนมาเล่นเกม จะเล่นได้กี่วิธี โดยที่คนที่เป็นคู่รักกันจะเป็นตัวแทนพร้อมกันไม่ได้
ก.c(5,3) ข. c(2,1) c(2,1) c(2,1)
ค.c(5,3) c(2,1) ง.c(5,3) c(2,1) c(2,1) c(2,1)
3.จงหาวิธีการแบ่งหนังสือที่แตกต่างกัน 13 เล่ม ให้นาย ก. นาย ข. และ นาย ค. โดยที่มี 2 คนได้ 4 เล่ม ส่วนอีกคนได้ 5 เล่ม
ก. 13! ข.13!/4!4!5!
ค.4!4!5!3!2! ง. 13!2! /4!4!5!3!
4.ลูกบอลสีต่างกัน 8 ลูก แบ่งให้เด็ก 5 คน ยกเว้นน้อง A จะได้ 2 ลูก จะแบ่งได้กี่วิธี
ก.c(8,5)c(5,2) ข. c(8,5)c(5,2) x 4!
ค. c(8,6)c(6,2) ง. c(8,5)c(5,2) x 4!
5.เด็กชายแดงมีลูกแก้วที่เหมือนกัน 5 ลูกต้องการแจกให้เพื่อน 3 คน จงหาวิธีการแจกให้เพื่อนแต่ละคนได้ลูกแก้วไม่ต่ำกว่า 2 ลูก
ก.c(9,3) ข..c(8,3)
ค. c(8,2) ง. c(5,2)
เฉลย
1. ข.
- ได้ 2 กรณี คือ ชายเท่ากับหญิง และ ชายมากกว่าหญิง
- ชายเท่ากับหญิงคือ ชาย 2 คน หญิง 2 คน ได้ c(5,2)c(3,2) = 30 วิธี
- ชายมากกว่าหญิง คือ ชาย 3 คน หญิง 1 คน ได้ c(5,3)c(3,1) = 30 วิธี
- ดังนั้นรวมกันได้ 30 + 30 = 60 วิธี
2. ง.
- เลือก 3 คู่ จาก 5 คู่ ได้ c(5,3) วิธี
- เลือก 1 คนต่อคู่ จาก 3คู่ที่เลือกมาแล้วได้ c(2,1) c(2,1) c(2,1) วิธี
- ดังนั้นจำนวนวิธีคือ c(5,3) c(2,1) c(2,1) c(2,1) วิธี
3. ง.
- แบ่งเป็น 3 กลุ่มได้ 13!/4!4!5! วิธี
- เรียงสับเปลี่ยนได้ 3!/2! วิธี
- ดังนั้นจำนวนวิธีคือ 13!2! /4!4!5!3! วิธี
4. ง.
- เลือกลูกบอลมา 6 ลูกได้ c(8,6) วิธี
- เลือกลูกบอลให้น้องA 2 ลูกได้ c(6,2)วิธี
- เหลือลูกบอล 4 ลูก แบ่งให้เด็กคนละลูกได้ 4! วิธี
- ดังนั้นจำนวนวิธีคือ c(8,6)c(6,2)
5. ง.
- แบ่งลูกให้เพื่อนไปก่อน คนละลูก เหลือลูกแก้ว 6 ลูก
- แบ่งลูกแก้ว 6 ลูกเป็น 3 กอง ได้ c(5,3) วิธี
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ความน่าจะเป็น
1.กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีชมพู 5 ลูก มีตำหนิ 3 ลูก และลูกบอล สีเหลือง 6 ลูกมีตำหนิ 2 ลูก สุ่มหยิบลูกบอลครั้งละ 2 ลูก 2 ครั้ง โดยไม่ใส่คืน ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีเดียวกันและเป็นลูกบอลที่ไม่มีตำหนิ 2 ครั้ง เท่ากับเท่าไร
ก.14/55 ข.14/50
ค.7/55 ง.7/110
2.ทอดลูกเต๋า 2 ครั้ง และโยนเหรียญ 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่ทอดลูกเต๋าครั้งแรกขึ้นแต้มคู่ ครั้งที่ 2 ขึ้นแต้มที่เลข 3 หารลงตัวและโยนเหรียญออกหัว
ก.1/2 ข.1/3
ค.1/6 ง. 1/12
3.นำเลข1,2,3 มาเรียงสลับกัน จงหาความน่าจะเป็นที่เลขนี้จะมีค่ามากกว่า 300
ก.1/2 ข.1/3
ค.1/6 ง. 1/12
4.มีหนังสือสังคม 5 เล่ม ภาษาไทย 3 เล่ม ภาษาอังกฤษ 4 เล่ม เลือกไปเรียงบนชั้น 7 เล่ม จงหาความน่าจะเป็นที่ หนังสือสังคมทั้ง 5 เล่มจะถูกนำไปเรียงบนชั้น
ก.3/c(12,7) ข.6/c(12,7)
ค.12/c(12,7) ง.21/c(12,7)
5.สมชายมาทานข้าวกับเพื่อนซึ่งรอบโต๊ะกลม รวมทั้งหมดเป็น 9 คน โดยที่สมชายแอบหวังไว้ว่าอยากนั่งข้างสมหญิง ความน่าจะเป็นที่สมชายจะสมหวังเป็นเท่าไร
ก.1/2 ข.1/3
ค.1/4 ง.1/5
เฉลย
1. ค.
- n(S) = 11x 10 = 110
- n(E) = (2x1)+(4x3) = 14
ชมพู เหลือง
- ดังนั้น P(E) = 14 /110 = 7/55
2. ง.
- เป็นเหตุการณที่อิสระต่อกัน
- ทอดลูกเต๋าครั้งแรก P(E1) = 3/6
- ทอดลูกเต๋าครั้งที่ 2 P(E2) = 2/6
- โยนเหรียญออกหัว P(E3) = 1/2
- ดังนั้น P(E) = 3/6 x 2/6 x ½ = 1/12
3. ข.
- n(S) = 3!
- n(E) = 1x2x1(หลักร้อยต้องเป็น 3 เท่านั้น) = 2
- ดังนั้น P(E) = 2/3! = 1/3
4. ง.
- n(S) = c(12,7)
- n(E) คิดจาก สังคม 5 ไทย 2 + สังคม5 อังกฤษ 2 + สังคม5 ไทย 1 อังกฤษ 1
- ได้ c(5,5) c(3,2) + c(5,5) +c(4,2) + c(5,5) +c(3,1) c(4,1) = 3 + 6 +12 = 21
- ดังนั้น P(E) = 21 / c(12,7)
5. ค.
- n(S) = 8!
- มัดสมชายกับสมหญิง ไว้ด้วยกัน เรียงสับเปลี่ยนได้ 7! วิธี สลับสมชายกับ สมหญิงได้ 2! วิธี ดังนั้น n(E) = 7!2!
- ดังนั้น P(E) = 7!2! / 8! = 1/4
